Common GCN Layer

GCNConv (Graph Convolutional Network)

核心思想：利用度矩阵进行归一化，解决节点度数差异导致的数值爆炸。

数学本质：对称归一化。

x_{i}^{(k)} = \sum_{j \in N (i) \cup {i}} \frac{1}{\sqrt{{\hat{d}}_{i} {\hat{d}}_{j}}} W x_{j}^{(k - 1)}

Matrix Form
- $\hat{A}$ : 包含自环的邻接矩阵 $[N, N]$ 。
- $\hat{D}$ : 对应的度矩阵。
- ${\hat{D}}^{- 1 / 2} \hat{A} {\hat{D}}^{- 1 / 2}$ : 这是归一化后的邻接矩阵

X^{(k)} = {\hat{D}}^{- 1 / 2} \hat{A} {\hat{D}}^{- 1 / 2} X^{(k - 1)} W

PyG 特点：
- 会自动处理 add_self_loops。
- 计算归一化系数 $α_{i, j} = 1 / \sqrt{{\hat{d}}_{i} {\hat{d}}_{j}}$ 并缓存，提高效率。
适用场景：经典的半监督节点分类，对图结构比较固定的任务效果稳健。

python

class GCNConv(MessagePassing):
    def __init__(self, in_channels, out_channels):
        super().__init__(aggr='add')
        self.lin = Linear(in_channels, out_channels, bias=False)

    def forward(self, x, edge_index):
        # 1. 添加自环
        edge_index, _ = add_self_loops(edge_index, num_nodes=x.size(0))
        # 2. 线性变换 (通常先做线性变换，减少 message 阶段计算量)
        x = self.lin(x)
        # 3. 计算归一化系数 (度矩阵 D)
        row, col = edge_index
        deg = degree(col, x.size(0), dtype=x.dtype)
        deg_inv_sqrt = deg.pow(-0.5)
        norm = deg_inv_sqrt[row] * deg_inv_sqrt[col] # 即 1/sqrt(di*dj)

        return self.propagate(edge_index, x=x, norm=norm)

    def message(self, x_j, norm):
        # 邻居特征乘以归一化系数
        return norm.view(-1, 1) * x_j