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Computer Graphics-Shading

Types of lighting, materials and shading

Direct and Global Illumination

• Direct illumination: A surface point receives light directly from all light sources in the scene

  • Computed by the local illumination model
  • Determine which light sources are visible

• Global illumination: A surface point receives light after the light rays interact with other objects in the scene.

Lighting and Shading

• Light sources properties

  • Emittance spectrum (color)
    • 光源的颜色（如 RGB 色彩）决定了其发出的光的光谱特性。
  • Geometry (position and direction)
    • 点光源、方向光、聚光灯等不同类型的光源需定义位置或方向（如方向光的平行光线方向）。
  • Directional attenuation (falloff)
    • 光的强度随距离的变化规律（如点光源的平方衰减、方向光无衰减）。

• Surface properties

  • Reflectance spectrum (color)
    • 物体表面对不同颜色光的反射能力（如红色物体反射红光，吸收其他光）。
  • Geometry (position, orientation, and micro-structure)
    • 表面的宏观位置和朝向（由法线向量表示）；
    • 微观结构（如粗糙度）影响光的散射方式（如漫反射或镜面反射）。
  • Absorption
    • 物体对光的吸收能力，未被反射的光会被吸收。

• Shading: Ambient, Diffuse, Emissive, Specular

  • 环境光（Ambient）：模拟间接光照（如房间内的漫反射光）；
  • 漫反射（Diffuse）：模拟粗糙表面的均匀反射（如纸张、布料）；
  • 自发光（Emissive）：物体自身发光（如灯泡、屏幕）；
  • 镜面反射（Specular）：模拟光滑表面的高光（如金属、玻璃）。

• Some basic approximations to capture key effects in lighting and shading

Point Light Sources

点光源的物理特性

• 光线发散规律 点光源的光线从某一点向四周 径向发散（如灯泡），其到达物体表面的光强与 距离的平方成反比（遵循物理中的 平方反比定律）。

  • 数学表达：光强 $I\propto \frac{1}{d^2}$，其中 $d$ 为光源到物体表面的距离。

• 与线光源的对比

  • 点光源：三维空间中光线呈球形发散，衰减为 二次方关系（$d^2$）。
  • 线光源（如灯管）：光线呈圆柱形发散，衰减为 线性关系（$d$），因为能量分布在圆柱面上，面积与距离 $d$ 成正比。

衰减模型（Attenuation Model） 通用衰减公式，用于模拟点光源的强度衰减：

$$A=\frac{1}{k_c+k_{l}d+k_q{d}^2}$$

• 参数含义：

  • $d$：光源到物体表面的距离。
  • $k_c$（常数项）：避免分母为零，确保近距离光强不会无限大（如 $k_c=1$ 时，距离 $d=0$ 处衰减为 1）。
  • $k_l$（线性项）：模拟线性衰减成分（如环境光散射）。
  • $k_q$（二次项）：模拟平方反比衰减的主导物理规律。

• 作用： 通过调整 $k_c,k_l,k_q$ 的值，可以灵活控制衰减速度。例如：

  • 若 $k_l=k_q=0$，则无衰减（光强恒定）；
  • 若 $k_q\ne 0$，则近距离衰减明显，远距离趋近于零。

• 实际应用中的简化 计算机图形学中常 忽略衰减（假设 $k_c=1,k_l=k_q=0$），尽管这不符合物理真实，但可简化计算（如实时渲染中提升性能）。

Material Properties

• Need normals (to calculate how much diffuse, specular, find reflected direction and so on)

  • Usually specify at each vertex, interpolate
  • Can do manually for parametric surfaces
  • Average face normals for more complex shapes

• Four terms: Ambient, Diffuse, Specular, Emissive

Emissive Term

$$I_E=Emissio{n}_{material}$$

• We can look at a light source by giving a material an emissive component
  • Only relevant for light sources when looking directly at them
  • Gotcha: must create geometry to actually see light
  • This component is unaffected by any sources or transformations

Ambient Light

• Ambient light is the result of multiple interactions between (large) light sources and the objects in the environment
  • It represents the reflection of all indirect illumination

$$I_A=K_a\cdot I_a$$

• 参数说明：
  • $I_A$：物体表面的环境光强度（最终颜色）；
  • $K_a$​：材质的环境反射系数（Vector，RGB 各通道取值范围 [0, 1]），如 vec3(0.2, 0.2, 0.2) 表示反射 20% 的环境光；
  • $I_a$​：全局环境光强度（Vector，由光源定义），如 vec3(0.5, 0.5, 0.5) 表示中等强度的白色环境光。

Diffuse Reflectance Term

Ideal Diffuse Reflectance

$$I_D=k_d\cdot (\mathbf{N}\cdot \mathbf{L})\cdot I_L\cdot A$$

• 参数解析：
  • $I_D$：物体表面的漫反射光强（RGB 颜色值）；
  • $k_d$：漫反射系数（Material Diffuse Coefficient），取值范围 $[0,1]$，表示材质对漫反射光的反射比例（如 $k_d=(0.8,0.3,0.2)$ 表示反射 80% 红光、30% 绿光、20% 蓝光）；
  • $\mathbf{N}\cdot \mathbf{L}$：归一化后的法线与光线方向的点积，即 $\cos \theta$；
  • $I_L$：光源的漫反射光强度（RGB 值，如白色光源为 $(1.0,1.0,1.0)$）；
  • $A$：衰减系数（如点光源的距离衰减，见前面对点光源的讨论）。
• 颜色分量的独立性 漫反射系数 $k_d$ 通常按 RGB 通道独立设置（如 $k_{dr},k_{dg},k_{db}$），分别控制红、绿、蓝三色光的反射比例，从而决定物体的颜色（如红色物体主要反射红光，吸收绿、蓝光）。

Ideal Specular Reflectance

The vector R can be computed from the incident ray direction L and the surface normal N

反射向量 $\mathbf{R}$ 的计算

$$\mathbf{R}=-\mathbf{L}+2(\mathbf{L}\cdot \mathbf{N})\mathbf{N}$$

• 前提条件：

  • $\mathbf{L}$（入射光方向）、$\mathbf{N}$（法线）均为 单位向量；
  • 入射光方向 $\mathbf{L}$ 指向表面（即 $\mathbf{L}$ 与 $\mathbf{N}$ 的夹角 $\le {90}^{\circ }$）。

• 推导思路：

  1. 将入射光向量 $\mathbf{L}$ 分解为 法向分量 和 切向分量：
     • 法向分量：$(\mathbf{L}\cdot \mathbf{N})\mathbf{N}$（投影到法线方向的分量）；
     • 切向分量：${\mathbf{L}}_{\perp }=\mathbf{L}-(\mathbf{L}\cdot \mathbf{N})\mathbf{N}$（垂直于法线的分量）。
  2. 反射向量 $\mathbf{R}$ 的切向分量与入射光切向分量方向相反，法向分量保持不变：$$\mathbf{R}=-{\mathbf{L}}_{\perp }+(\mathbf{L}\cdot \mathbf{N})\mathbf{N}=-\mathbf{L}+2(\mathbf{L}\cdot \mathbf{N})\mathbf{N}$$
  • 几何意义：反射向量是入射光向量关于法线的镜像（如图示中，$\mathbf{R}$ 与 $\mathbf{L}$ 对称分布于法线两侧）。

理想反射体的光强决定因素

理想反射体的可见光强度由两个角度共同决定：

• 入射角（$\theta$）：入射光方向 $\mathbf{L}$ 与表面法线 $\mathbf{N}$ 的夹角（决定反射方向 $\mathbf{R}$）；
• 观察角（$\alpha$）：视角方向 $\mathbf{V}$ 与反射方向 $\mathbf{R}$ 的夹角（决定是否能观察到反射光）。

关键逻辑 理想反射体遵循 几何光学的镜面反射定律：

• 只有当 视角方向 $\mathbf{V}$ 与反射方向 $\mathbf{R}$ 完全一致（即 $\alpha =0^{\circ }$）时，才能观察到反射光；
• 若 $\mathbf{V}$ 偏离 $\mathbf{R}$（$\alpha >0^{\circ }$），则反射光强为零（理想情况）。

$$I_S=k_s\cdot (\mathbf{V}\cdot \mathbf{R})\cdot I_L$$

参数说明

• $I_S$：镜面反射光强（最终颜色值）；

• $k_s$：

  • 镜面反射系数（Specular Reflection Coefficient），取值范围 $[0,1]$，表示材质对镜面反射光的反射比例（如 $k_s=0.9$ 表示反射 90% 的入射光）；

• $\mathbf{V}\cdot \mathbf{R}$：

  • 视角向量 $\mathbf{V}$ 与反射向量 $\mathbf{R}$ 的点积，衡量两者方向的一致性：
    • 当 $\mathbf{V}$ 与 $\mathbf{R}$ 同向时，$\mathbf{V}\cdot \mathbf{R}=1$，光强最大；
    • 当 $\mathbf{V}$ 与 $\mathbf{R}$ 垂直时，$\mathbf{V}\cdot \mathbf{R}=0$，光强为零。

• $I_L$：光源的镜面反射光强度（通常与光源颜色一致，如白色光源为 $(1.0,1.0,1.0)$）。

• Specular or glossy materials: highlights

  • Polished floors, glossy paint, whiteboards
  • For plastics highlight is color of light source (not object)
  • For metals, highlight depends on surface color

• Really, (blurred) reflections of light source

$$I_S=k_s\cdot (\mathbf{V}\cdot \mathbf{R}{)}^n\cdot I_L$$

• $n$ is the shininess coefficient
  • Values of a between 100 and 200 correspond to metals
  • Values between 5 and 10 give surface that look like plastic

Phong Illumination Model

Sum of three components:

• diffuse reflection + specular reflection + ambient

• Uses four vectors

  • To source: I
  • To viewer: v
  • Normal: n
  • Perfect reflector: r

Blinn & Torrance Variation

• Modified Phong model
  • The specular term in the Phong model is problematic because it requires the calculation of R and V for each vertex
  • Blinn suggested an more efficient approximation using the halfway vector halfway vector H between L and V

$$H=\frac{L+V}{2}$$$$I_s=K_s(N\cdot H{)}^n{I}_{L}A$$

H is the normal to the (imaginary) surface that maximally reflects light in the V direction

• No need to compute reflection vector R at every point
• $I_s$ is a function only of $N$, if:
  • the viewer is very far away and $V$ does not change for all points on the object (e.g., orthographic projection)
  • $L$ does not change for all points on the object (e.g., directional lights)

• Single light source (with attenuation):

$$I=k_a{I}_a+k_d(N\cdot L)I_L+k_s(N\cdot H{)}^n{I}_L$$

• Multiple light sources (with attenuation):

$$I=k_a{I}_a+\sum _i(k_d(N\cdot L_i)I_i+k_s(N\cdot H_i{)}^n{I}_i)$$

Normal to Plane

• Equation of plane: $ax+by+cz+d=0$
• We know that plane is determined by three points $p_0,p_1,p_2$ or normal $n$ and $p_0$
• Normal can be obtained by
  • $n=(p_1-p_0)\times (p_2-p_0)$
  • normalize $n\leftarrow \frac{n}{|n|}$

Normal to Sphere

Vertex Normal

$$N=\frac{1}{N}\sum F_i$$

Phong shading and Gouraud shading

Gouraud shading

顶点法线计算→顶点光照→颜色插值

• Gouraud Shading
  • Find vertex normals
  • Apply modified Phong model at each vertex
  • Interpolate vertex shades across each polygon

1. 第一步：计算顶点法线（Find vertex normals）

目标 为多边形的每个顶点生成一个平均法线向量，用于近似表面在该顶点处的朝向。

方法

• 基于相邻面的法线平均： 若顶点被多个多边形共享（如三角网格），则将这些多边形的法线取加权平均（权重通常为面面积或顶点贡献度），公式为：$${\mathbf{n}}_v=\frac{\sum _{i=1}^n{\mathbf{n}}_i}{\parallel \sum _{i=1}^n{\mathbf{n}}_i\parallel }$$其中 ${\mathbf{n}}_i$ 是第 $i$ 个相邻面的单位法线。
• 作用：
  • 顶点法线用于模拟曲面的连续性（如球体表面顶点法线指向外法线方向），而非多边形面的离散法线；
  • 为后续顶点光照计算提供方向依据（如漫反射和镜面反射的方向判断）。

2. 第二步：在顶点处应用修改后的Phong模型（Apply modified Phong model at each vertex）

目标 在每个顶点处计算光照颜色，作为后续插值的基准。

关键细节

• “修改后的Phong模型”的含义： 通常指简化版的光照模型，可能包含以下调整：
  • 仅计算环境光和漫反射（忽略镜面反射以提升性能）；
  • 使用 Blinn-Phong模型 替代传统Phong模型（用半程向量 $\mathbf{H}$ 简化镜面反射计算）；
  • 简化参数（如固定高光指数 $n$ 或光照强度 $I_L$）。
• 计算流程： 对每个顶点 $v$，计算其颜色 $C_v$：$$C_v=I_{\text{ambient}}+k_d({\mathbf{n}}_v\cdot \mathbf{L})I_{\text{diffuse}}+k_s({\mathbf{n}}_v\cdot \mathbf{H}{)}^n{I}_{\text{specular}}$$
  • ${\mathbf{n}}_v$：顶点法线（已归一化）；
  • $\mathbf{L}$：光照方向向量；
  • $\mathbf{H}$：半程向量（$\mathbf{H}=\text{normalize}(\mathbf{L}+\mathbf{V})$，$\mathbf{V}$ 为视角方向）。

与Phong着色的区别

• 计算位置：仅在顶点计算光照，而非每个片段；
• 计算粒度：顶点颜色是最终插值的起点，而非片段级动态计算。

3. 第三步：在多边形内插值顶点颜色（Interpolate vertex shades across each polygon）

目标 通过顶点颜色的线性插值，生成多边形内部的连续颜色分布，模拟表面光影变化。

实现方法

• 扫描线算法与双线性插值：
  1. 垂直方向插值：先在每条边上插值顶点颜色，得到扫描线与边交点的颜色（如左边界颜色 $I_a$ 和右边界颜色 $I_b$）；
  2. 水平方向插值：在扫描线上，从左到右插值 $I_a$ 和 $I_b$，得到每个像素的颜色 $I_p$。
  • 公式（以三角形为例，参考之前的扫描线插值公式）：$$I_p=\frac{I_a(x_b-x_p)+I_b(x_p-x_a)}{x_b-x_a}$$
• 几何假设： 假设颜色在屏幕空间中呈线性变化，忽略三维空间中的深度差异（可能导致透视失真，但计算高效）。

视觉效果

• 平滑过渡：通过插值模糊多边形边界，使低多边形模型看起来更平滑（如模拟球体时比Flat着色更自然）；
• 高光缺陷：由于颜色插值而非法线插值，高光区域可能出现模糊或断层（如图1所示）。

特性	Gouraud着色	Phong着色
插值对象	颜色（已计算光照的结果）	法线（未计算光照的向量）
光照计算位置	顶点（仅计算一次/顶点）	片段（每个像素级计算）
高光真实性	可能模糊或丢失（因颜色插值）	锐利准确（因片段级法线计算）
计算成本	低（顶点计算+简单插值）	高（片段计算+复杂插值）

常见误区澄清

1. “Gouraud着色不需要法线”： 错误。Gouraud需要顶点法线计算顶点颜色，只是无需插值法线，而是直接插值颜色。
2. “修改后的Phong模型是Phong着色特有的”： 错误。Gouraud在顶点处也可使用Phong模型的简化版，两者的区别在于计算位置和插值对象，而非光照模型本身。
3. “插值颜色等于插值法线”： 错误。颜色是光照计算的结果（非线性变换），法线是向量（线性变换），插值颜色无法准确模拟曲面的光照变化（如高光位置）。

总结 Gouraud着色通过“顶点法线计算→顶点光照→颜色插值”的流程，以较低的计算成本实现了多边形模型的平滑光影效果。其核心优势是高效性，适合实时渲染和低多边形模型，但代价是牺牲高光细节和曲面真实性。理解这三个步骤有助于掌握图形渲染中“顶点处理→光栅化→片段处理”的基础管线逻辑，以及效率与真实感的权衡策略。

Phong shading

顶点法线计算→法线插值→片段光照

• Phong Shading
  • Find vertex normals
  • Interpolate vertex normals across edges
  • Interpolate edge normals across polygon
  • Apply modified Phong model at each fragment

1. 步骤1：计算顶点法线（Find vertex normals）

目标 为多边形的每个顶点确定一个平均法线向量，用于近似表面在该点的朝向。

方法

• 基于相邻面法线的平均： 对于共享顶点的所有多边形（如三角网格），将各面的单位法线取加权平均（权重通常为面面积或顶点对各面的贡献度）。
  • 公式：若顶点 $v$ 连接面 $f_1,f_2,\dots ,f_n$，各面法线为 ${\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2,\dots ,{\mathbf{n}}_n$，则顶点法线为：$${\mathbf{n}}_v=\frac{\sum _{i=1}^n{\mathbf{n}}_i}{\parallel \sum _{i=1}^n{\mathbf{n}}_i\parallel }$$
• 几何意义： 顶点法线用于模拟曲面的连续性（如球体表面顶点法线指向外法线方向），而非真实多边形面的离散法线。

与Gouraud的共同点 此步骤与Gouraud着色相同，均通过顶点法线近似表面曲率，但后续处理完全不同。

2. 步骤2：沿边插值顶点法线（Interpolate vertex normals across edges）

目标 在多边形的每条边上，通过顶点法线的线性插值计算边上各点的法线。

方法

• 扫描线算法中的边处理： 对于多边形的每条边（如顶点 $A$ 和 $B$ 构成的边），已知顶点法线 ${\mathbf{n}}_A$ 和 ${\mathbf{n}}_B$，边上任意点 $P$ 的法线 ${\mathbf{n}}_P$ 由以下公式插值得到：$${\mathbf{n}}_P={\mathbf{n}}_A+t({\mathbf{n}}_B-{\mathbf{n}}_A),t\in [0,1]$$其中 $t$ 是点 $P$ 沿边从 $A$ 到 $B$ 的归一化参数（如基于屏幕空间坐标的线性比例）。
• 插值空间：
  • 屏幕空间 vs. 三维空间： 理论上应在三维空间中插值法线（考虑深度），但实际渲染中常基于屏幕空间坐标近似（硬件插值默认支持屏幕空间线性插值）。

3. 步骤3：在多边形内插值边法线（Interpolate edge normals across polygon）

目标 将边上插值得到的法线进一步传播到多边形内部每个片段（Fragment，即像素候选点），形成连续的法线场。

方法

• 双线性插值（Bilinear Interpolation）： 以三角形为例，已知三条边上的插值法线，内部任意片段 $P$ 的法线 ${\mathbf{n}}_P$ 通过以下步骤计算：
  1. 确定片段 $P$ 在三角形中的重心坐标（Barycentric Coordinates） $(\alpha ,\beta ,\gamma )$，满足 $\alpha +\beta +\gamma =1$；
  2. 法线插值公式：$${\mathbf{n}}_P=\alpha {\mathbf{n}}_A+\beta {\mathbf{n}}_B+\gamma {\mathbf{n}}_C$$（${\mathbf{n}}_A,{\mathbf{n}}_B,{\mathbf{n}}_C$ 为三角形顶点法线）。
• 硬件支持： 现代GPU的光栅化阶段可自动完成法线插值（通过顶点属性插值器），开发者无需手动实现。

4. 步骤4：在每个片段应用修改后的Phong模型（Apply modified Phong model at each fragment）

目标 利用插值得到的片段法线，计算该点的光照颜色，实现高精度光影效果。

关键细节

• 修改后的Phong模型： 通常指 Blinn-Phong模型，其镜面反射项使用半程向量 $\mathbf{H}$ 替代传统Phong模型的反射向量 $\mathbf{R}$，公式为：$$I_S=k_s(\mathbf{N}\cdot \mathbf{H}{)}^n{I}_L,\mathbf{H}=\text{normalize}(\mathbf{L}+\mathbf{V})$$
  • 优势：减少计算量（无需计算 $\mathbf{R}$），且高光效果更符合实际观察。
• 片段级计算： 每个片段独立计算光照，需完成以下步骤：
  1. 将法线 $\mathbf{N}$、光照方向 $\mathbf{L}$、视角方向 $\mathbf{V}$ 转换到同一坐标系（如世界坐标系或切线空间）；
  2. 归一化向量（确保点积计算正确）；
  3. 计算环境光、漫反射、镜面反射分量并叠加。

特性	Gouraud着色	Phong着色
插值对象	颜色（已计算光照的结果）	法线（未计算光照的向量）
光照计算位置	顶点（仅在顶点计算一次）	片段（每个像素级计算）
视觉效果	平滑但高光可能失真	高光锐利，曲面过渡自然
计算复杂度	低（顶点计算+简单插值）	高（片段计算+复杂插值）
硬件依赖	仅需顶点着色器	需要像素着色器（Fragment Shader）

优点

• 真实感强：准确模拟高光位置和形状，适合金属、玻璃等强反射材质；
• 曲面模拟优秀：法线插值可有效减少多边形化痕迹，即使低多边形模型也能呈现平滑曲面。

缺点

• 性能开销大：每个片段均需计算光照，比Gouraud着色慢2-5倍；
• 依赖高质量顶点法线：若顶点法线计算错误（如平均权重不合理），插值结果会失真。

总结 Phong着色通过“顶点法线计算→法线插值→片段光照”的流程，将光照计算的粒度从顶点级提升到像素级，显著提升了渲染真实感。其核心在于利用法线插值模拟曲面连续性，结合Blinn-Phong等光照模型实现精确的光影效果。尽管计算成本较高，但随着GPU算力的提升，已成为当前图形渲染的主流技术之一。理解其原理有助于深入掌握图形管线中的光栅化、插值和着色逻辑。